Неравенство Коши-Буняковского Неравенство Коши-Буняковского устанавливает связь между скалярным произведением и произведением длин векторов: ⃗ а∙⃗ b ≤ Ι ⃗ а Ι∙Ι ⃗ b Ι. Если это неравенство записать в координатной форме, то получим неравенство...
More
Неравенство Коши-Буняковского Неравенство Коши-Буняковского устанавливает связь между скалярным произведением и произведением длин векторов: ⃗ а∙⃗ b ≤ Ι ⃗ а Ι∙Ι ⃗ b Ι. Если это неравенство записать в координатной форме, то получим неравенство Коши-Буняковского: х1у1+х2у2+ … +хnyn ≤√x1 2 +x2 2 …+xn 2 √y1 2 + y2 2 …+ yn 2 . Для произвольных x1,x2, …xn и y1,y2, …yn имеет место неравенство: (x1y1+x2y2+ …+xnyn)2 ≤(х1 2 +х2 2 +…+хn 2 )(у1 2 +у2 2 +…+yn 2 ), причём равенство достигается в том и только в том случае, когда числа хк и ук пропорциональны, т.е. существует константа а (а≠0) такая,что для всех к=1,2, … п выполняется равенство хк=аук. В некоторых случаях весьма эффективным является применение неравенства (а+b)п ≤2п-1 (ап +bп ), где а≥0, в≥0 и п≥2. Причём равенство достигается тогда и только тогда, когда а=b. Пример 1. Пусть а+b+с=1. Доказать, что а2 +b2 +с2 ≥ 1 3 . Решение: Используем неравенство Коши-Буняковского: (а+b+с )2 = (1× а+1×b+1×с)2 ≤ (12 +12 +12 )( а2 +b2 +с2 )= 3( а2 +b2
Less
