ВСЕУКРАЇНСЬКА ОЛIМПIАДА З МАТЕМАТИКИ, III етап
25 сiчня – 26 сiчня 2014 року, м.Львiв
7 клас
1. Периметр трикутника бiльший вiд довжин його трьох сторiн на 1007, 509
i 498 см, вiдповiдно. Знайти периметр трикутника. Вiдповiдь обгрунтувати.
Вiдповiдь. Такого...
More
ВСЕУКРАЇНСЬКА ОЛIМПIАДА З МАТЕМАТИКИ, III етап
25 сiчня – 26 сiчня 2014 року, м.Львiв
7 клас
1. Периметр трикутника бiльший вiд довжин його трьох сторiн на 1007, 509
i 498 см, вiдповiдно. Знайти периметр трикутника. Вiдповiдь обгрунтувати.
Вiдповiдь. Такого трикутника нема. Розв’язок. Нехай a, b, c — довжини сторiн трикутника, а p = a + b + c — його периметр. Тодi, за умовою,
p = a + b + 1007, p = a + c + 509, p = b + c + 498.
Додаючи цi три рiвностi отримуємо 3p = 2p + 2014, звiдки p = 2014, але
у цьому випадку a + b = 498 + 509 = 1007 = c.
2. Знайдiть всi коренi рiвняння
2014|x − 2015| =
x
2014
+ 2015,
якi задовольняють умову 2014 ≤ x ≤ 2016. Вiдповiдь обгрунтувати.
Вiдповiдь. Рiвняння на заданому промiжку коренiв не має. Розв’язок.
При x ≥ 2015 послiдовно маємо
2014(x − 2015) =
x
2014
+ 2015 ⇔ (2014 −
1
2014
)x = 20152
⇔
x =
20152
20142 − 1
· 2014 =
2015
2013
· 2014 > 2016,
позаяк остання нерiвнiсть при t = 2016 перетворюється у нерiвнiсть
(t − 1)(t − 2)
t − 3
> t ⇔ t2
− 3t + 2 > t2
Less
