Глава 8
Алгебра + геометрия
1. Геометрия помогает алгебре
8.1. Докажите, что сумма векторов, направленных из центра правильного n-угольника в его вершины, равна нулю.
8.2. Докажите равенства:
a) cos
π
5
− cos
2π
5
=
1
2
;
б)
1
sin(π/7)
=
1
sin(2π/7)
+
1...
More
Глава 8
Алгебра + геометрия
1. Геометрия помогает алгебре
8.1. Докажите, что сумма векторов, направленных из центра правильного n-угольника в его вершины, равна нулю.
8.2. Докажите равенства:
a) cos
π
5
− cos
2π
5
=
1
2
;
б)
1
sin(π/7)
=
1
sin(2π/7)
+
1
sin(3π/7)
;
в) sin 9◦
+ sin 49◦
+ sin 89◦
+ . . . + sin 329◦
= 0.
(См. также 7.26.)
8.3. Вычислите
а) cos
π
9
cos
4π
9
cos
7π
9
; б) cos
π
7
+ cos
3π
7
+ cos
5π
7
.
8.4. Найдите cos 36◦
и cos 72◦
.
8.5. а) Используя геометрические соображения, докажите, что основание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом 36◦
при
вершине несоизмеримы (т. е. их отношение иррационально).
б) Придумайте геометрическое доказательство иррациональности
√
2.
8.6. Решите уравнения при 0◦
< x < 90◦
:
a)
√
13 − 12 cos x + 7 − 4
√
3 sin x = 2
√
3;
б)
√
2 − 2 cos x +
√
10 − 6 cos x =
√
10 − 6 cos 2x;
в)
√
5 − 4 cos x +
√
13 − 12 sin x =
√
10.
8.7. Докажите равенство:
arctg 1 + arctg
1
2
+ arctg
1
3
=
π
2
.
8.8. Докажите равенство:
ctg 30◦
+ ctg 75◦
=
Less
