Г. ФІліповський О двух паралелогрмах в треугольнике (до вивчення прямої та кола Ейлера )

Ê Â À Í T 2 0 0 8 / ¹ 4!" Ø Ê Î Ë À  « Ê Â À Í Ò Å » Î äâóõ ïàðàëëåëîãðàììàõ â òðåóãîëüíèêå Ã.ÔÈËÈÏÏÎÂÑÊÈÉ ÐÅ×Ü ÏÎÉÄÅÒ Î ÄÂÓÕ ÑËÅÄÓÞÙÈÕ ÏÀÐÀËËÅËÎÃÐÀÌìàõ â òðåóãîëüíèêå ABC: 1 1OM E A è 1 1OM HE (ðèñ.1). Çäåñü O – öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà, H... More

Ê Â À Í T 2 0 0 8 / ¹ 4!" Ø Ê Î Ë À Â « Ê Â À Í Ò Å »
Î äâóõ
ïàðàëëåëîãðàììàõ
â òðåóãîëüíèêå
Ã.ÔÈËÈÏÏÎÂÑÊÈÉ
ÐÅ×Ü ÏÎÉÄÅÒ Î ÄÂÓÕ ÑËÅÄÓÞÙÈÕ ÏÀÐÀËËÅËÎÃÐÀÌìàõ â òðåóãîëüíèêå ABC: 1 1OM E A è 1 1OM HE (ðèñ.1).
Çäåñü O – öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà, H –
òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ åãî
âûñîò (îðòîöåíòð), 1M
– ñåðåäèíà BC è 1E –
ñåðåäèíà AH.
Ïîêàæåì, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèêè 1 1OM E A
è 1 1OM HE äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëîãðàììàìè. Îïèøåì
îêîëî òðåóãîëüíèêà
ABC îêðóæíîñòü ω è
ïðîâåäåì äèàìåòð BD
(ðèñ.2). Î÷åâèäíî,
ADCH – ïàðàëëåëîãðàìì ( DC AH2 , ïîñêîëüêó îáà îòðåçêà ïåðïåíäèêóëÿðíû ê ñòîðîíå BC; àíàëîãè÷íî
DA CH2 ), 1OM –
ñðåäíÿÿ ëèíèÿ â òðåóãîëüíèêå BCD, ò.å.
1
1
2
OM CD= . Òîãäà
1
1
2
OM AH= . Ñëåäîâàòåëüíî, 1 1OM AE= =
1E H= . Ïîñëåäíèå òðè îòðåçêà ê òîìó æå ïàðàëëåëüíû (âñå
îíè ïåðïåíäèêóëÿðíû ê BC). Ïîýòîìó 1 1OM E A è 1 1OM HE
– ïàðàëëåëîãðàììû.
Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê ðàçãîâîðó î çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâàõ óêàçàííûõ ïàðàëëåëîãðàììîâ, îòìåòèì: â òóïîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ôîðìóëà 1
1
2
OM Less