Министерство образования и науки, молодёжи и спорта
Автономной Республики Крым
III этап Всеукраинской ученической олимпиады по математике
2013/2014 учебного года
Указания и ответы к решению заданий для 11 класса
1. Доказать, что если – острый угол, то 5...
More
Министерство образования и науки, молодёжи и спорта
Автономной Республики Крым
III этап Всеукраинской ученической олимпиады по математике
2013/2014 учебного года
Указания и ответы к решению заданий для 11 класса
1. Доказать, что если – острый угол, то 5
cos
1
1
sin
1
1
.
Решение. Левую часть доказываемого тригонометрического неравенства
можно представить в виде
2sin
2
cos
1
sin
1
1 ,
так как 2sin
2
1
cossin . Если – острый угол, то все знаменатели
положительны. Поскольку синус и косинус любого угла не могут быть
больше 1, второе и третье слагаемые не меньше 1, а последнее слагаемое не
меньше 2. Следовательно, вся сумма не меньше 5. Но она не может быть
равна 5, поскольку два средних члена не могут быть одновременно равны 1
(равенства 1sin и 1cos выполняются для различных углов).
Следовательно, 5
2sin
2
cos
1
sin
1
1
.
2. Докажите, что из любых 7 последовательных натуральных чисел
можно выбрать 6 и разбить их на две группы
Less
