3 етап (Крим Умови 2 тур)

Министерство образования и науки, молодёжи и спорта Автономной Республики Крым III этап Всеукраинской ученической олимпиады по математике 2013/2014 учебного года Задания для 11 класса 1. Доказать, что если  – острый угол, то 5 cos 1 1 sin 1 1      ... More

Министерство образования и науки, молодёжи и спорта
Автономной Республики Крым
III этап Всеукраинской ученической олимпиады по математике
2013/2014 учебного года
Задания для 11 класса
1. Доказать, что если  – острый угол, то 5
cos
1
1
sin
1
1 













.
2. Докажите, что из любых 7 последовательных натуральных чисел можно
выбрать 6 и разбить их на две группы по 3 числа так, чтобы сумма квадратов
чисел обеих групп была одинаковой.
3. В каждой клетке квадратной таблицы nn (n – натуральное число, не
меньшее двух) записано произвольное целое число. Известно, что сумма всех
чисел в любом квадрате 2х2 положительна, а сумма всех чисел таблицы
отрицательна. Найдите все возможные значения n.
4. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты 1AA , 1BB и 1CC .
Точки X и Y – середины отрезков 1CA и 1AC . Известно, что 1BBXY  .
Докажите, что существуют две стороны треугольника ,ABC отношение длин
которых равно 2 .
На выполнение заданий олимпиады отводится 4 часа
Верное ре Less