Série d’exercices n 2
1.
Soit la suite de fonctions : fn(x) = sin
x
n
dé…nie sur R.
Calculer la limite de fn:
Est ce que la convergente est uniforme sur R.
2 Soit fn(x) =
x2
1 + x2
n
sur R.
Calculer la limite simple.
Montrer que la convergence n’est...
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Série d’exercices n 2
1.
Soit la suite de fonctions : fn(x) = sin
x
n
dé…nie sur R.
Calculer la limite de fn:
Est ce que la convergente est uniforme sur R.
2 Soit fn(x) =
x2
1 + x2
n
sur R.
Calculer la limite simple.
Montrer que la convergence n’est pas uniforme sur R.
Montrer que la convergence est uniforme sur tout segment I = [ a; a] ; a > 0:
3 Soit fn(x) = e
n 1
n
x
1) Etudier la convergence simple sur R.
2) Montrer que la convergence est uniforme sur tout intervalle I = ] 1; b] :
3) Est ce que la convergence est uniforme R.
4 On se donne une série de fonctions dé…nie sur R+
par son terme général
un(x) =
x
n2 + x2
a) Montrer que la série de fonctions est simplement convergente sur R+
.
b) Montrer que la série n’est pas uniformément convergente sur R+
.
c) Montrer que la série alternée
1X
n=0
( 1)n
un(x) converge uniformément sur R+
mais la convergence n’est pas normale.
5 Soit la série de fonctions F(x) =
X
n 1
fn(x).
=
X
n 1
x
n
e nx
; x 2 IR+
= [0; 1[
(i) Montrer que l
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